Estudiando en profundidad la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada (Inverse Distance Weighting, IDW)

Cómo funciona la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada (IDW)

Dentro de nuestros proyectos, a la hora de describir algunas variables físicas presentes en el área de estudio, mapearlas o estimar su valor, es necesario realizar, algunos cálculos o estimaciones para así conocer el valor de esa variable y poder realizar otros análisis con esos valores.

Por ejemplo, imaginemos que queremos conocer la precipitación anual en una finca o parcela, y no se dispone de una estación meteorológica o un pluviómetro dentro de la parcela, la solución más rápida es localizar los datos de las distintas estaciones meteorológicas más cercanas y estimar la precipitación para nuestro área de interés o estudio. Aquí es cuando estimaremos los datos utilizando métodos de interpolación para estimar los valores y uno de lo más utilizados es la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada.

Como vemos, para conocer valores desconocidos de una variable como la elevación, temperatura, precipitación, entre otros. Es necesario, una serie de puntos con los valores de las variables conocidos y por medio de la interpolación, estimaremos los valores desconocidos.

En el caso de la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada (IDW), se supone que los valores más cercanos están más relacionados que los más alejados. Por este motivo, siempre tendremos mejores resultados, si los valores conocidos son numerosos y se encuentran espaciados de manera uniforme.

A continuación, veremos como funciona la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada (IDW), en que ocasiones obtendremos mejores resultados y cuando utilizarla. Pero antes …

Un Resumen de la Interpolación

Ya sabemos que la interpolación estima valores conocidos a partir de valores conocidos. Tal vez una forma muy sencilla para entender como estimar un punto es pensar en el siguiente gráfico:

Este gráfico representa el procedimiento para estimar el valor intermedio, entre el punto (0,0) y (1,1). Para esto, dibujaremos una línea desde el punto desconocido hasta el eje x y luego otra línea hasta el eje y -en el gráfico, líneas de puntos-. Y como ya conocemos los valores de los puntos rojos -(0,0) y (1,1) -, entonces es posible estimar el valor del punto intermedio o azul.

En el ejemplo anterior, hemos ejemplificado una interpolación lineal muy sencilla. Dentro de un programa SIG la interpolación funciona de la misma forma, a partir de una serie de puntos con los valores de la variable de estudio conocidos, se estiman los valores desconocidos y se crea una superficie.

La Interpolación Espacial y La Interpolación de Distancia Inversa Ponderada

Algunos ejemplos reales que cumplen con el supuesto de la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada, que supone que, los valores más cercanos están más relacionados que los más alejados, son:

• El ruido, es más fuerte cuando estamos más cerca del emisor, que más lejos. Por ejemplo, el sonido de una sirena.
• La precipitación, es más probable que la cantidad de agua recogida o recolectada por un pluviómetro sea la misma a un metro de distancia, que la que indiquen los pluviómetros a quinientos metros de distancia.

Estos ejemplos, definen la Autocorrelación Espacial y la Primera Ley de Geografía de Tobler, que son el supuesto en el que se basa la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada.

Cómo calcula el Programa SIG la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada (IDW)

En la siguiente imagen, observamos que los puntos rojos, son los puntos con valores de la variable conocidos -por ejemplo, altitud-, y que el punto púrpura o violeta deberá ser interpolado para estimar su valor. Para conseguir este valor dentro de un programa SIG podemos configurar el análisis para la Interpolación IDW, de distintas formas:

1. Estableciendo un número fijo de valores a utilizar

Como hemos observado en la imagen anterior, podemos establecer un número fijo de valores conocidos a utilizar, el programa en este caso, tomará el número de puntos indicado que se localicen más cerca del punto a estimar. En la imagen de ejemplo superior, se establece que tome un número fijo de tres puntos y el programa ha seleccionado los tres puntos más cercanos.

2. Especificando un radio de búsqueda de valores conocidos

En las siguientes imágenes, observamos que es posible configurar la Interpolación IDW especificando un radio de búsqueda. Aquí el programa realizará la interpolación utilizando los puntos conocidos incluidos dentro de ese radio de búsqueda.

3. Estableciendo una barrera límite para la interpolación

Y por último, en la siguiente imagen observamos, que es posible indicar al programa a través de una capa de polilíneas, barreras límites para realizar la interpolación. El uso de barreras es muy útil a la hora de realizar superficies de elevación para indicar las zonas con crestas, o un análisis de dispersión de ruido para indicar barreras de sonido, por ejemplo.

Potencia o Poder, Ajustando los Resultados

Una vez configurados los parámetros de distancia de búsqueda, números de puntos a utilizar y barreras, será necesario indicar el Poder o Potencia.

El Poder o Potencia en la Interpolación IDW se define como: El exponente de la distancia que controla la importancia de los puntos circundantes en el valor interpolado. Por tanto, una potencia alta provoca que los puntos más cercanos a los valores conocidos se vean más influenciados que los puntos más lejanos. A nivel visual observaremos que:

• Una potencia de 1, suaviza la superficie interpolada.

Una potencia de 2, aumentará la influencia de los valores conocidos. Observaremos que los picos y los valores están más localizados y no se promedian tanto como cuando se utiliza una potencia de 1.

La Ecuación Matemática Detrás de la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada (IDW).

• Una potencia de 1, suaviza la superficie interpolada.
• Una potencia de 2, aumentará la influencia de los valores conocidos. Observaremos que los picos y los valores están más localizados y no se promedian tanto como cuando se utiliza una potencia de 1.

Como ya hemos visto, la Interpolación de Distancia Inversa Ponderada estima el valor de un punto descocido asignando pesos a los valores circundantes en función inversa a la distancia que los separa. Siendo la ecuación matemática básica de esta interpolación la siguiente:

Ahora bien, para establecer la función considerando la proporcionalidad entre la importancia y la distancia, para nuestro caso la fórmula o ecuación final, sería:

Para entender este ejemplo vamos a volver a ver la imagen del ejemplo y vamos a aplicar la ecuación, para el caso de los tres valores conocidos los valores son:

Punto 1 ( valor de la variable 12 y distancia 350 ).

Punto 2 ( valor de la variable 10 y distancia 750 ).

Punto 3 ( valor de la variable 10 y distancia 850 ).

Cuando indicamos que la potencia para realizar la Interpolación IDW es 1, el cálculo sería:

Y cuando indicamos que la potencia para realizar la Interpolación IDW es 2, el cálculo quedaría:

Para finalizar:

Los distintos métodos de Interpolación de Distancia Inversa Ponderada, permiten la generación de Modelos Digitales de Elevación (MDE) de una forma rápida y simple. Pero, como hemos visto en este artículo, se trata de una media ponderada, y por tanto, el resultado se centrará siempre dentro del rango de variación de los datos utilizados. Así que es muy importante que dentro de nuestros datos conocidos se encuentren los valores máximos y mínimos de la variable de estudio.

Además y siguiendo con el punto anterior, el correcto tratamiento de las formas cóncavas y convexas dependen estrechamente de la distribución de los puntos originales, – cuanto más datos y distribuidos de forma equitativa o uniforme, mejor -, y además, el uso de datos auxiliares es muy conveniente.

Por último, hemos estudiado que el cálculo de valores desconocidos por este método de interpolación es muy sencillo y flexible pero, es importante considerar que, otras técnicas como la Interpolación de Kriging arrojan como resultado modelos más robustos.